摘要：

高频变压器的绕组损耗是固态变压器整机功率密度与效率的一大决定因素。然而，不同绕组结构下绕组损耗的计算存在多种解析公式，精度随绕组空间结构变化，且部分解析公式存在漏写或错误；绕组导体的厚度最优选择也是一个关键问题。为了解决上述问题，分别讨论铜箔绕组、绝缘实心圆导线绕组和利兹线绕组3种导体绕组损耗的解析计算方法，并据此揭示绕组损耗与变压器工作频率、结构参数的关系，同时推导特定工作频率下的最优导体厚度。对适用于利兹线绕组的Bartoli公式与Tourkhani公式源文献中的错误进行修正，并根据实际工作条件简化Tourkhani公式。对于实心圆导线绕组，绕制2个样例变压器绕组，使用网络分析仪测量其交流电阻，分析不同绕组解析算法的计算误差。实验测量结果显示，改进Ferreira算法具有最小的计算误差，为高频变压器绕组的选型与效率优化提供参考。

引言

在能源互联网逐步建设与智能电网迅速发展的环境下，固态变压器(solidstatetransformer，SST)的建模与设计成为一大研究热点[1]，SST可以灵活实现无功补偿，潮流控制以及分布式电源柔性接入等功能，提升了中压直流配网的智能化水平[2-3]。SST整合了现代电力电子技术与变压器高频化技术，在隔离级使用大容量高频变压器替换传统50Hz工频变压器，有效提升功率密度。此时，高频变压器不仅承担了传统工频变压器电气隔离、电压变换等功能，且与前后级电力电子设备共同完成潮流控制、电能质量调节等任务[4]。此外，高频变压器因其功率密度大、体积小等优点，在电力机车牵引中也得到了广泛应用[5]。大功率高频变压器在电能变换领域有广泛的应用前景。

可靠的建模设计与先进的制造工艺是保证高频变压器整机效率与功率密度的关键，随着纳米晶等低单位损耗、高工作磁密的铁磁材料的问世及应用，大功率高频变压器的整机体积大大减小，功率密度被提升到了一个更高的层级。文献[6]指出，在相同容量下与双有源桥变换器中传统硅钢片低频变压器相比，LLC谐振变换器中纳米晶高频变压器的体积降低了85%。而另一方面，高频变压器应用中的面临的挑战也逐步显现，主要表现为损耗突出、绝缘散热等问题。绕组损耗作为高频变压器损耗的重要组成部分[7]，在高频下因绕组导体自身的趋肤效应及相邻导体的邻近效应影响，变的尤为严重。且损耗通常随频率升高而增加。此外，由于高频变压器体积较小，结构紧凑，较大的绕组损耗将导致绕组局部温升，对散热设计形成挑战。

因而，对绕组损耗进行合理的建模预测，将有助于大功率高频变压器的优化设计。高频变压器常采用铜箔、实心圆导线与利兹线构成其绕组。变压器的绕组结构会影响其窗口内磁场分布，进而影响绕组内涡流场分布，使绕组损耗解析变得复杂。若激励电压非正弦，综合绕组损耗需将基波电流与各次谐波电流产生的高频附加铜损叠加。

高频变压器绕组损耗的解析算法基于Dowell在1966年建立的一维电磁场理论模型[8]，根据该模型，Dowell得到了铜箔绕组的交流电阻，并根据面积等效原则将结论推广到实心圆导线。Ferreira认为Dowell对实心圆导线的修正缺乏物理意义，于1994年发现圆导线中趋附效应与邻近效应相互正交[8-9]，并根据此结论提出了Ferreira公式，然而，在圆导线直径大于3倍趋肤深度时，计算误差开始变得逐步扩大。2002年，Reatti对Ferreira的绕组损耗公式进行了修正[10]。上述解析计算公式中，Dowell公式和Ferreira公式对实心圆导线与铜箔构成的绕组均适用，但难以直接推广至利兹线绕组。对采用利兹线绕组的情况，文献[11]根据Dowell模型，先通过将其等效为绝缘实心圆导线，再等效至铜箔绕组，较为简便，但存在误差。文献[12]根据内磁场与外磁场的正交关系，对利兹线进行了较准确的物理建模，计算误差较小。文献[13]根据Ferreira公式的思想，将其推广至利兹线，提出了一种新的解析算法。为了降低更高频率下利兹线导体的绕组损耗，Sullivan研究了利兹线单股直径与股数的最优匹配问题。文献通过有限元分析，对这些解析式在多变压器物理变量中的误差进行了仿真。尽管这些解析式均只关注于标准正弦电流产生的损耗，很多学者通过傅里叶分解等方法对含高频谐波电流的绕组损耗进行了研究[15-21]。

高频变压器绕组损耗解析模型假设绕组紧密排满铁芯窗口竖直方向空间，此时可满足空间磁场一维化假设。实际中为满足绝缘要求，绕组电气高度常常小于窗口高度，此时导体端部漏磁场将出现边缘效应，可利用洛氏系数对等效磁路长度进行修正。但如果即绕组电气高度与窗口高度之比，即绕组孔隙率小于70%，相对误差将会开始显著增大。另一方面，由于变压器在实际生产制造中，绕组真实结构与模型假设结构并非完全一致，导致变压器窗口内电磁场存在二维效应[22]，实际磁场存在垂直于绕组导体方向的附加分量，它会感应出附加的电流，导致绕组损耗解析式偏离实际值的解[23-25]，对高频变压器真实绕组损耗的解析法精确预测提出了更大的挑战。

本文分别讨论高频变压器中铜箔、实心圆导线与利兹线的绕组损耗解析计算方法，推导确定工作频率下使绕组损耗最小的导体的最优厚度；其中，对适用于利兹线绕组的Bartoli公式与Tourkhani公式文献中存在的漏写与错误求解问题，本文进行修正，并根据实际工作条件下简化Tourkhani公式。最后，针对实心圆导体绕组，设计2台样例变压器，比较不同公式解析解与实测交流电阻的误差，证明该情况下改进Ferreira算法精度较高，可作为变压器优化设计参考。

1、高频变压器绕组损耗

1.1高频变压器绕组损耗模型

高频变压器通常采用铜箔，实心圆导线和利兹线作为其绕组导体，因趋肤效应与邻近效应的影响，绕组等效交流电阻大于直流电阻。在实际应用中，流经高频变压器的电流常常非标准正弦，精度要求高的场合应计算绕组在各谐波频率下的交流电阻，最后绕组损耗通过式(1)、(2)求得。

根据Dowell一维电磁场模型，绕组交流电阻与高频变压器结构有关。根据原副边绕组的排列，存在两种情况，分别是原副边交叉绕组与不交叉绕组，其中交叉绕组结构可以有效降低绕组损耗[26]，但绝缘设计困难。它又分为完全交叉与对称交叉绕组，见图1，其中图1(c)显示了图1(a)所示结构虚线框内磁动势(magneticmotiveforce，MMF)分布。

根据图1(c)所示绕组磁动势分布，可将变压器交叉绕组分为多个完全相同的结构，如由绕组P1和S1组成的第1部分与绕组P2和S2组成的第2部分。交叉绕组可化为多个独立的部分，分别计算并相加，非交叉绕组自然形成一个独立部分，直接计算即可。高频时导体内感应出涡流，导致电流密度在导体内非线性变化，但每个独立结构中磁势均在导体内由零增加到最大值，并在层间绝缘保持不变，再减小至零。可见，每个独立结构中磁势分布均相同，因而可独立计算。

1.2、铜箔绕组损耗解析计算

Dowell的变压器磁场一维化理论存在以下3个假定：首先，高频变压器采用与磁芯柱平行绕制的铜箔绕组；其次，铜箔绕组高度等于窗口高度，此时不存在边缘效应；最后，假设磁芯磁导率为无限大，磁芯中磁场强度即可被忽略。此时，以独立绕组结构中第p层导体为例，如图2所示，在涡流场中求解麦克斯韦方程组，可得该导体内电流密度：

铜箔绕组交流电阻系数由2项构成，如式(5)所示，第1项解释了趋肤效应的影响，与层数无关，第2项解释了邻近效应的影响。该项在仅有一层时为零，且大小与层数呈平方式增长，表示铜箔绕连续多层绕制极易产生大量绕组损耗。若绕组结构不满足磁场一维化假定，可根据情况选用修正因子对式(5)进行修正。

如图1所示，可以按照绕组结构将其分成几个完全相同的独立绕组结构。因而需要求绕组损耗时，可以取其中一个独立结构分别计算原副边绕组的交流电阻。表1为样例变压器原边绕组中一个独立结构的参数，由式(5)可得该绕组的交流电阻与导体厚度及频率的关系，绘制曲面图如图3所示。

从表1可知，绕组高度等于磁芯窗口高度，因此不考虑导体末端的边缘效应。考虑电流为高频正弦时，从图3可知，当工作频率一定时，绕组的交流电阻与导体厚度之间并不是单调变化关系。由于趋肤效应与邻近效应的影响，电流在导体中分布不均匀，实际载流面积小于导体截面积。但导体厚度在趋肤深度附近时，流过导体的电流仍相对均匀，使得该频率下绕组的交流电阻仅比直流电阻略大一些，而直流电阻随导体厚度以反比下降。因此，当变压器运行频率确定时，总会存在一个最优导体厚度，此时绕组总交流电阻达到最小值。图4为图3中当频率变化范围较小时导体交流电阻的变化关系。

绕组交流电阻因子以及交流电阻随导体厚度的变化规律如图5所示，当频率固定为20kHz时，导体直流电阻随导体厚度增加而减小，而交流电阻因子随导体厚度增加而变大，最终导体交流电阻(直流电阻与交流电阻因子的乘积)先减小再增大。综上，运行频率固定时，在设计时总存在一个最优导体厚度，使绕组损耗最小化。

导体穿透率为导体等效厚度与趋肤深度之比，如图6所示，当导体厚度固定时(0.4mm)，频率增加，电流更难透入导体内部，导体趋肤深度变浅，导致导体穿透率变大，其交流电阻因子也随之增加。

1.3、实心圆导线绕组损耗解析计算

1、Dowell公式。

如果高频变压器采用图7所示实心圆导线构成其绕组，每层会存在k根导体，可以将它看作高度为hw的铜箔绕组，此时导磁面积变大，需使用式(6)对导体电导率与穿透率进行校正，并代入式(5)计算，保证等效前后导体激励产生的磁场强度相等。

改进Dowell算法认为Dowell公式存在的误差来源于趋肤效应的填充因子相关性，而趋肤深度与材料有关，与导体几何排列无关，它在Dowell模型的基础上，修正了趋肤深度。

3、Ferreria公式。

上述公式均适用于实心圆导线绕组的交流电阻计算，为比较在以上4种算法下绕组总交流电阻系数与工作频率及导体厚度的关系，可选定如表2所示样例原边绕组的参数，结果如图8所示，横坐标为导体穿透率。由图8分析可知，导体交流电阻系数随频率上升而单调增加。在穿透率较小时，即频率较低或导体较细时，各算法结果偏差较小。而当穿透率大于1.5时，4种算法结果相差开始逐步扩大。为比较各算法的精确度，后文将通过实验加以验证。

1.4、利兹线绕组损耗解析计算

1、Dowell公式。

利兹线通常被用来降低绕组损耗，它由多股表面绝缘细导线绞制而成，在多步绞制过程中，所有股线都可先后通过利兹线截面上的每个位置，这种绞制结构使得电流均分于每根股线，此时每根细股线交流电阻相同。因此，利兹线也可看成有多股表面绝缘的细导线并联而成。

其中：

3、Tourkhani公式。

由于1）中Dowell等效公式忽略了利兹线股间漏磁场影响，导致其计算得到的损耗误差常常较大。Tourkhani于2001年提出了该利兹线绕组损耗精确模型，该模型根据每股导线的漏磁场分布计算得到圆导体的趋肤效应损耗的大小，将每匝利兹线当作一个圆导体，考虑一定的填充率，在二维极坐标中进行积分计算损耗。圆导体受穿透时变磁场H影响时，单位长度导体产生损耗为

选取样例利兹线绕组结构参数如表3所示，图12显示了由Dowell算法，Bartoli算法及Tourkhani算法求得的利兹线绕组交流电阻系数随导体穿透率的变化曲线。可以看出，当导体穿透率增加(即频率上升)时，交流电阻因子随之变大。由于都针对利兹线实际结构建模并考虑股线间漏磁场影响，Bartoli算法与Tourkhani算法求得的解析值相近，皆显著高于Dowell算法计算值。

2、绕组损耗测量

高频变压器绕组损耗可由高精度阻抗分析仪测得的交流电阻反映，或通过实验电路测量。

1、阻抗测量法。

阻抗测量法是按照高频变压器真实绕组结构，把待测绕组按同样方式绕制于完全相同的磁芯骨架上，直接使用阻抗分析仪，或带有阻抗分析组件的网路分析仪测量绕组的交流电阻。然后计算绕组损耗。该测量方法较为便捷，结果可靠。

2、电路测量法。

电路测量法是一种实测绕组损耗的方法，其接线图如图13所示，测量高频变压器辅助绕组以及副边绕组的电压采样值，即可求得副边绕组的交流电阻：

电路测量法的主要误差源有2个：一是负载测量电阻大小存在公差，且包含有寄生电感，会产生相移；二是变压器真实变比与计算匝比不同。进行测量时，应先进行估算，选用标称阻值远小于待测变压器交流电阻的低寄生电感测量电阻，并通过测量值修正变比。

3、实验验证

为验证高频变压器各交流电阻解析算法的精度，利用阻抗测量法选取安捷伦E5061B网络分析仪，对图14所示2个实心绝缘圆导线制成的样例变压器绕组进行测量，测量扫描频率设定为0~40kHz。样例绕组结构参数如表4、5所示，两绕组均为紧密绕制在与磁芯等截面积的骨架上，孔隙率为0.98。测量一侧绕组时，将另一侧绕组开路或去除，值得注意的是，这种测试方法不需要加入磁芯，否则会造成较大测量误差[27]。在使用阻抗分析仪测量前，首先测量一小段导线的交流电阻大小作为校正，以修正网络分析仪系统误差，实际交流电阻为测得曲线值减去校正曲线值。未校正的测量结果如图15所示。提取测量数据并校正系统误差后，得到两样例绕组交流电阻测量值与4种算法解析值如图16所示，从图中可知，改进Ferreria算法解析值与实测值偏差最小。高频变压器中实际通过的电流常常并非正弦，此时需要将不规则波形傅里叶分解为不同频率的正弦电流叠加，分别使用不同频率下的交流电阻计算各谐波损耗，并相加得到真实的绕组损耗。

可以看出，对单层绝缘实心圆导体绕组，Dowell算法与改进Ferreria算法都能提供较高的精确度，而对于多层导体，Dowell算法解析值在10kHz以上的频段高估了实际绕组交流电阻，且随着频率升高，误差不断增大，这是由于Dowell算法在计算多层绕组邻近损耗时，没有考虑圆导体几何结构的影响。其余算法尽管在理论上对磁场强度等物理量进行了修正，而经实验验证表明并不具备普适性，误差较大。而改进Ferreria算法是根据趋肤效应与邻近效应的正交关系，对圆导体进行了独立建模，并考虑了填充系数的影响。实验结果表明，改进Ferreria算法在测试频率范围内均能精确估计绕组交流电阻，可为高频变压器优化设计提供参考。

4、结论

本文主要讨论高频变压器的绕组损耗特性，根据绕组导体形式分类，对铜箔绕组、实心绝缘圆导线绕组和利兹线绕组的损耗解析计算法分别进行了分析研究。这些解析方法对满足Dowell假设条件的多种绕组结构均适用，对多种方形窗口磁芯(EE型、U型等)结构绕组也具备通用性。得到了高频变压器绕组损耗在改变导体厚度、绝缘距离以及工作频率下的变化规律。分析表明，运行频率固定时，存在使绕组损耗最小的唯一确定的绕组厚度，且同侧绕组不交叉连续多层绕制会导致较大的绕组损耗，在设计变压器时应避免。上述结论可为高频变压器绕组导体的选型提供参考。最后，制作样机对不同算法绕组损耗解析值的精度进行了验证，实验表明实心圆导线的绕组损耗计算采用改进Ferreria算法较其他算法误差更小。